Zināšanas

Kā faktorēt otrās pakāpes polinomu (otrās pakāpes vienādojums)

Posted on
Autors: Monica Porter
Radīšanas Datums: 17 Martā 2021
Atjaunināšanas Datums: 1 Jūlijs 2024
Anonim
How to Factor Second-degree Polynomials Quick and Easy Trick
Video: How to Factor Second-degree Polynomials Quick and Easy Trick

Saturs

Šajā rakstā: Rīkojieties pēc izmēģinājuma un kļūdasProcedējiet sadalotiesTrīskāršā spēle. Divu kvadrātu starpībaIzmantojiet kvadrātu formuluKalkulatora lietošana

Polinomu veido mainīgais lielums (x), kas paaugstināts līdz noteiktai jaudai, ko sauc par polinoma pakāpi, un vairāki citi zemāku grādu un / vai vairākām citām konstantēm apzīmējumi. Faktizēt otrās pakāpes polinomu (sauktu arī par “kvadrātvienādojumu”) nozīmē samazināt sākotnējo izteiksmi līdz mazāku grādu izteiksmju reizinājumam, ko pēc tam var reizināt ar otru. Šīs zināšanas ir daļa no vidusskolas kursa un vairāk, tāpēc šo rakstu var būt grūti saprast, ja jums vēl nav vajadzīgais matemātikas līmenis.


posmi

Lai sāktu



  1. Uzrakstiet savu izteiksmi. Otrās pakāpes vienādojuma standarta forma ir:

    ass + bx + c = 0
    Sāciet, sakārtojot vienādojuma nosacījumus atbilstoši pilnvaru secībai, sākot no lielākā līdz mazākajam, kā tas ir standarta formā. Piemēram,

    6 + 6x + 13x = 0
    Mēs pārkārtosim šo izteicienu, lai atvieglotu darbu, vienkārši pārvietojot terminus:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. Atrodiet faktisko formu, izmantojot kādu no tālāk aprakstītajām metodēm. Faktorizējot, tiks iegūti divi īsāki izteicieni, kas sniegs sākotnējo polinomu, ja tos reizināsim viens ar otru:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    Šajā piemērā (2x +3) un (3x + 2) ir faktori sākotnējās izteiksmes, 6x + 13x + 6.




  3. Pārbaudiet savu darbu! Reiziniet identificētos faktorus. Tad apvienojiet līdzīgus terminus, un jums tiks darīts. Sāciet ar:

    (2x + 3) (3x + 2)
    Sāksim pārbaudīt šo izteiksmi, reizinot divu izteiksmju nosacījumus, lai iegūtu:

    6x + 4x + 9x + 6
    Pēc tam mēs varam pievienot 4x un 9x, jo tie ir vienas pakāpes termini. Tad mēs zinām, ka mūsu faktori ir pareizi, jo mums ir liela nozīme izlidošanas izpausmē:

    6x + 13x + 6.

1. metode Veic izmēģinājumu un kļūdu

Ja jums ir darīšana ar diezgan vienkāršu polinomu, jums vajadzētu būt iespējai īsumā atrast tā sadalīšanos kā faktoru produktu. Piemēram, daudzi matemātiķi spēj redzēt šo izteicienu 4x + 4x + 1 norāda faktorus (2x + 1) un (2x + 1) pēc ieraduma un ar pieredzi (acīmredzami, tas nav tik vienkārši sarežģītu polinomu gadījumā). Šajā piemērā ņemsim mazāk izplatītu izteicienu:

3x + 2x - 8

.




  1. Izveidojiet koeficientu faktoru sarakstu ir un c. Izmantojot formas izteiksmi ass + bx + c = 0, identificējiet koeficientus ir un c un uzskaitiet atbilstošos faktorus. Par: 3x + 2x - 8, tas dod:

    a = 3, un tam ir tikai viens faktoru pāris: 1 * 3
    c = -8 un četri faktoru pāri: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 un -1 * 8.



  2. Uz papīra ierakstiet divus iekavu pārus ar atstarpi, lai rakstītu tajos. Katrā izteiksmē konstantes ievadīsit paredzētajā vietā:

    (x) (x).



  3. Pirms x ierakstiet koeficienta iespējamo faktoru pāri ir. Par koeficientu ir mūsu piemērā 3x ir tikai viena iespēja:

    (3x) (1x).



  4. Tad aizpildiet divas atlikušās tukšās vietas ar koeficienta koeficientu pāri c. Ņem, piemēram, 8. un 1. Pierakstiet tos:

    (3x8) (X1).



  5. Izlemiet tagad zīmi (vairāk vai mazāk), lai novietotu starp x un skaitli, kuru jūs ievietojāt aiz viņa. Saskaņā ar oriģinālās izteiksmes zīmi ir iespējams atrast, kādām jābūt konstantu pazīmēm. izsaukums h un k mūsu faktoru konstantes:

    Ja ax + bx + c, tad (x + h) (x + k)
    Ja ax - bx - c vai ax + bx - c, tad (x - h) (x + k)
    Ja ax - bx + c, tad (x - h) (x - k)
    Mūsu piemērā 3x + 2x - 8 zīmēm jābūt izvietotām šādā veidā: (x - h) (x + k), kas dod mums šādus divus faktorus:

    (3x + 8) un (x - 1).



  6. Pārbaudiet savu faktisko formu, pārveidojot to. Pirmais ātrs pārbaudījums ir pārbaudīt, vai vidējam terminam ir pareizā vērtība. Ja x nav labs, tad, iespējams, koeficientam esat izvēlējies nepareizu faktoru pāri c. Pārbaudīsim mūsu rezultātus:

    (3x + 8) (x - 1)
    Veicot reizināšanu, mēs iegūstam:

    3x - 3x + 8x - 8
    Pievienojot līdzīgus terminus (-3x) un (8x), lai vienkāršotu šo izteiksmi, iegūstam:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    Tagad mēs zinām, ka, iespējams, esam identificējuši nepareizus faktorus:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. Ja nepieciešams, apmainieties ar faktoru izvēli. Šajā piemērā izmēģināsim 2. un 4., nevis 1. un 8.:

    (3x + 2) (x - 4)
    Tagad mūsu koeficients c ir -8, bet reizinājumi (3x * -4) un (2 * x) dod -12x un 2x, kas turklāt ne vienmēr dod sākotnējo vērtību b, tas ir + 2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x.



  8. Ja nepieciešams, mainiet pasūtījumu. Mēs savā piemērā apgriežam 2. un 4. vietu:

    (3x + 4) (x - 2)
    Tagad koeficients c vienmēr ir labs, bet X koeficientu vērtība šoreiz ir vērtīga -6x un 4x. Pēc pievienošanas tas dod:

    -6x + 4x = -2x
    2x ≠ -2x Mēs esam ļoti tuvu sākotnējai 2x vērtībai, kuru mēs cenšamies atrast, taču zīme nav laba.



  9. Ja nepieciešams, vēlreiz pārbaudiet zīmes. Tagad mēs saglabāsim to pašu kārtību, bet mēs apmainīsimies ar zīmēm:

    (3x – 4) (x + 2)
    Koeficients pirms c vienmēr ir labs, un termini x tagad ir vērtīgi (6x) un (-4x). Kopš:

    6x - 4x = 2x
    2x = 2x Tātad mēs iegūstam 2x, kādi mums sākotnēji bija. Tātad, iespējams, mēs atradām pareizos faktorus.

2. metode Veic sadalīšanos

Šī metode ļaus mums identificēt visus iespējamos faktorus koeficientu iegūšanai ir un c un izmantojiet tos, lai identificētu pareizākos faktorus. Ja skaitļi ir ļoti lieli vai citas izmēģinājumu un kļūdu metodes šķiet pārāk garas, varat izmantot šo metodi. Ņemiet šo piemēru:

6x + 13x + 6

.



  1. Reiziniet koeficientu ir pēc koeficienta c. Mūsu piemērā ir ir vienāds ar 6 un c ir arī vienāds ar 6.

    6 * 6 = 36.



  2. Atrodiet koeficientu b faktorējot un pēc tam pārbaudot iegūtos faktorus. Mēs meklējam divus skaitļus, kas ir produkta faktori ir * c kuru mēs esam identificējuši un kura summa ir koeficienta "b" vērtības vērta (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. Ievadiet divus skaitļus, kurus tikko esat nokļuvis vienādojumā; novietojiet tos x priekšā, lai to summa būtu vienāda ar koeficientu b. Ņemsim vēstules k un h attēlo divus iegūtos skaitļus, 4 un 9:

    ass + kx + hx + c
    6x + 4x + 9x + 6.



  4. Faktorējiet savu polinomu grupējot. Sakārtojiet vienādojumu tā, lai atrastu pirmo divu terminu lielāko kopējo koeficientu un pēdējo divu terminu lielāko kopējo koeficientu. Pēc tam jums vajadzētu iegūt divu identisku faktisko formu summu. Apkopojiet abus koeficientus un ielieciet tos iekavās faktiskās formas priekšā; tad jūs iegūsit divus faktorus:

    6x + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2).

3. metode "trīskāršā spēle"

Šī metode ir ļoti līdzīga iepriekšējai. Tas sastāv no iespējamo koeficientu produktu izpētes ir un c, pēc tam izmantojiet tos, lai atrastu vērtību b. Ņem, piemēram, šādu vienādojumu:

8x + 10x + 2



  1. Reiziniet koeficientu ir pēc koeficienta c. Tāpat kā sadalīšanās metode, tā mums palīdzēs noteikt potenciālos koeficienta kandidātus b. Mūsu piemērā ir ir vienāds ar 8 un c ir 2 vērts.

    8 * 2 = 16.



  2. Atrodiet divus numurus, kuru reizinājums ir skaitlis, kas tikko atrasts iepriekš (16) un kuru summa dod koeficientu "b". Šis solis ir identisks sadalīšanās metodes solim - tas ir, mēs pārbaudām un noraidām konstantes kandidātus. Koeficientu reizinājums ir un c ir vienāds ar 16, un koeficients c ir vienāds ar 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. Paņemiet šos divus skaitļus un nomainiet tos formulā "trīskāršā spēle". Ņemiet divus numurus no iepriekšējā soļa - piezvanīsim viņiem h un k - un ieviest tos šādā izteicienā:

    ((ass + h) (ax + k)) / a

    Tad mēs iegūstam:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. Atrodiet, kurš no skaitļa iekavās izteiktajiem ir dalāms ar koeficientu ir. Šajā piemērā mēs pārbaudām, vai (8x + 8) vai (8x + 2) var dalīt ar 8. (8x + 8) ir dalāms ar 8, tad mēs šo izteiksmi dalīsim ar ir un atstājiet otru izteicienu tādu, kāds tas ir.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)
    Izteiciens, ko mēs šeit glabājam, paliek tas, kas paliek pēc dalīšanas ar koeficientu ir : (x + 1).



  5. Atrodiet - ja tāds ir - lielāku kopējo koeficientu abās iekavās. Mūsu piemērā otrajai izteiksmei ir lielāks kopējais koeficients 2, jo 8x + 2 = 2 (4x + 1). Apvienojiet šo atbildi ar izteiksmi, kuru atradāt iepriekšējā solī. Tādējādi jūs esat atradis divus polinoma faktorus.

    2 (x + 1) (4x + 1).

4. metode Divu kvadrātu atšķirība

Daži polinomu koeficienti var tikt identificēti kā "kvadrāti", tas ir, kā divu skaitļu reizināšanas reizinājumi. Identificējot šos kvadrātus, jūs varat daudz ātrāk faktorizēt faktorus. Ņem, piemēram, vienādojumu:

27x - 12 = 0



  1. Sāciet ar visa faktoringa noteikšanu plašākā kopējā faktorā, ja tas ir iespējams. Mūsu piemērā mēs redzam 27. un 12., abus dalot ar 3, tāpēc sākotnējo izteiksmi varam “pārrakt” šādi:

    27x – 12 = 3 (9x – 4).



  2. Nosakiet, vai vienādojuma koeficienti ir kvadrātā. Lai izmantotu šo metodi, jums jāprot atrast koeficientu kvadrātsaknes (ņemiet vērā, ka mēs neuzskatām negatīvas zīmes - tā kā mums ir darīšana ar kvadrātiem, tie var būt divu pozitīvu skaitļu reizinājums vai negatīvs)

    9x = 3x * 3x un 4 = 2 * 2.



  3. Izmantojot atrastās kvadrātsaknes, uzrakstiet faktorus. Ņemiet vērtības ir un c iepriekš atrasts - ir = 9 un c = 4 - pirms to kvadrātsaknes atrašanas - √ir = 3 un √c = 2. Šie būs mūsu faktisko izteiksmju koeficienti:

    27x – 12 = 3 (9x – 4) = 3 (3x + 2) (3x – 2)

5. metode Izmantojot kvadrātisko formulu

Ja visas iepriekš minētās metodes nav izdevušās un jūs nevarat atrast pareizos vienādojuma koeficientus, tad izmantojiet kvadrātu formulu. Ņemiet šo piemēru:

x + 4x + 1 = 0



  1. Ņem koeficientu "a", "b" un "c" vērtības un nomainiet tos šādā kvadrāta formulā:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2a
    Tad mēs iegūstam izteicienu:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. Atrisiniet vienādojumu, lai atrastu x. Kā redzat iepriekš, jums vajadzētu iegūt divas x vērtības:


    x = -2 + √ (3) vai x = -2 - √ (3).



  3. Izmantojiet x vērtību, lai atrastu faktorus. Ievadiet x vērtības, kas iegūtas iepriekš, kā divu polinoma izteiksmju konstantes. Tie būs jūsu faktori. izsaukums h un k x vērtības un uzrakstiet divas faktiskās formas:

    (x - h) (x - k)
    Šajā gadījumā gala rezultāts ir šāds:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

6. metode Kalkulatora lietošana

Ja jums ir atļauts izmantot grafisko kalkulatoru, ņemiet vērā, ka tas ievērojami atvieglos jūsu uzdevumu, īpaši eksāmenu laikā. Šīs instrukcijas attiecas tikai uz zīmola Texas Instrument grafiskajiem kalkulatoriem. Ņem, piemēram, šādu vienādojumu:

y = x - x - 2



  1. Ievadiet kalkulatora vienādojumu. Jums būs jāizmanto "izšķirtspējas vienādojums", tas ir, ekrāns.



  2. Veiciet kalkulatora vienādojuma grafisku attēlojumu. Pēc vienādojuma ievadīšanas nospiediet - pēc tam vajadzētu redzēt parādītu līknes grafisko attēlojumu (precīzāk, jūs iegūsit "loka", jo jūs strādājat ar polinomiem).



  3. Atrodiet loka krustošanās punktus ar x asi (x). Tā kā polinoma vienādojumus tradicionāli raksta šādā formā: ax + bx + c = 0, šīs ir divas vērtības x, kurām izteiksme ir vienāda ar nulli:

    (-1, 0), (2 , 0)
    x = -1, x = 2.
    • Ja jūs nevarat nolasīt vērtības, kur jūsu līkne šķērso x asi, nospiediet tad. Nospiediet vai atlasiet "nulle". Pārvietojiet kursoru pa kreisi no viena no krustojumiem un nospiediet. Pēc tam pārvietojiet kursoru pa labi no šī krustojuma un vēlreiz nospiediet. Pēc tam pārvietojiet kursoru pēc iespējas tuvāk krustojumam un vēlreiz nospiediet. Kalkulators atrod x vērtību. Dariet to pašu nākamo otram krustojumam.



  4. Visbeidzot, ievadiet iepriekšējā solī iegūtās x vērtības divfaktoru izteiksmē. Ja mēs piezvanīsim h un k mūsu abas x vērtības, tad mēs izmantosim šādu izteiksmi:

    (x - h) (x - k) = 0
    Tātad, mēs iegūsim šādus divus faktorus:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • Zīmuli
  • Papīrs
  • Otrās pakāpes vienādojums (vai kvadrātvienādojums)
  • Grafiku kalkulators (pēc izvēles)